2008年 東北大学(理系) 大問1

2008年 東北大学 理系(歯，農，薬，理，医，工学部)の第1問です。

文系の第2問も類題となっています。文系の方は、すでに$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$と4次式でおかれており、a～eを求めさせる問題(すなわち(2)のみ)となっております。

スタンダード数学演習I・II・Ａ・Ｂ(2022年版)の問題番号15にも記載されています。

考え方

(1) そもそもの前提条件として、整式の定義は以下の通りです。

多項式は整式の一種なので、多項式の分母にも文字が入っていてはいけません。例えば、$f(x)$に、$\frac{5}{x^2}$のような項が出てきたら、それは多項式とは言えません。それを踏まえると次数が決まってきます。

(2)3つの条件を用いて、恒等式を作りましょう。(ii)の条件を用いる際に、$x$に$(1-x)$を入れて係数比較する方法と、実際に数値を代入する方法があります。後者を選ぶ場合は、十分性の確認も忘れずに。

ちなみに・・・出てきた$f(x)$の式で、$f(x)=0$のなる式を相反方程式と呼びます。

解答