
2013年 大阪大学 理系(薬,歯,理,医(医,保健(放射線技術学専攻、検査技術学専攻)),基礎工,工)の入試問題です。
スタンダード数学演習I・II・A・B(2022年版)の問題番号111にも記載されています。
参考動画
鈴木貫太郎さんが、解説動画をあげておられます。
ななゆうさんの「楽しい数学の世界へ」のチャンネルでも扱っておられます。
考え方
この手の問題はまず「実験」です。
5乗・7乗が厄介ですが、自然数$n$を入れていって、素数にならないのはどういうときか、またどうして素数にならないのか(言い換えると何の倍数になるのか)を調べるとよいです。
すると素数にならないときは3の倍数であることが、分かります。つまりmod3で計算すると道が開けそうですね。
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