
2001年 静岡大学(教育学部・農学部)の入試問題です。
スタンダード数学演習I・II・A・B(2022年版)の問題番号52に類題として記載されています。(3)のみ解答する問題に改題されています。
考え方
(1) ω(1の3乗根)を見たら、次の性質を思い出しましょう。
ω(1の3乗根) (=$\dfrac{-1±\sqrt{3}i}{2}$)
$ω^3=1$ ⇒ ωの次数が4次以上ならば次数下げができる!
$ω^2+ω+1=0$⇒$ω^2=-ω-1$となり、次数下げができる!
(2) 右辺を展開しつつ、(1)を利用して左辺を導きましょう。
(3) (2)の形を使いましょう。$a^3+b^3=6$,$3ab=6$からa,bを導けばよいのですが、導き方にコツがいります。そのまま$a+b$を求めようとするとうまくいきません。$a^3$と$b^3$を解に持つ二次方程式を作ることでうまくいきます。
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