数学II

3次方程式x^3-1=0の1と異なる解の1つをωとする。等式x^3-3abx+a^3+b^3=(x+a+b)(x+aω+bω^2)(x+aω^2+bω)を利用して,3次方程式x^3-6x+6=0の解をωを用いて表せ。

nを2以上の整数とする。整数(n-1)^3を整数n^2-2n+2で割ったときの商と余りを求めよ。

実数a,b,虚数単位iに対し,(a+bi)^2=1+√3iが成り立っているとする。このとき,(a-bi)^2の値を求めよ。また,a>0のときa,bの値を求めよ。

log_10(2)=0.301,log_10(3)=0.477とする。(1)log_10(48)を求めよ。 (2)10^0.84<7<10^0.85を示せ。

方程式x^3=8の虚数解の一つをαとすると，α^4+6α^3+8α^2+8αの値を求めよ。

多項式f(x)について，次の条件(A)，(B)，(C)を考える。(A)x^4 f(1/x)=f(x) (B)f(1-x)=f(x) (C)f(1)=1 (1)条件(A)をみたす多項式f(x)の次数は4以下であることを示せ。(2)条件(A)，(B)，(C)をすべてみたす多項式f(x)を求めよ。

a,b,cは整数とする。4次方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+3=0の実数解が1と3だけとなるようなaの最大値と最小値を求めよ。

3次方程式x^3+(a+2)x^2-4a=0がちょうど2つの実数解をもつような実数aをすべて求めよ。